Изоб­ра­зим дан­ную фи­гу­ру  — че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду с вер­ши­ной в точке S и с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма где a и b сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, а   — угол между ними, сле­ду­ет, что угол а па­рал­ле­ло­грамм ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник SBC пря­мо­уголь­ный по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Чтобы найти ко­си­нус ли­ней­но­го угла дву­гран­но­го угла BSCD, вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов трех­гран­но­го угла. Возь­мем за угол BCD за плос­кий угол трех­гран­но­го угла. Тогда:

где   — ис­ко­мый ли­ней­ный угол.

Под­ста­вим зна­че­ния и най­дем ко­си­нус ли­ней­но­го угла:

Тогда зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния равно –3.

Ответ: –3.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMH и ASO: от­ку­да Точка O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, в нее про­еци­ру­ет­ся вы­со­та SO. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна a, тогда вы­со­та Из свой­ства бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке SLA:

Тре­уголь­ник SLO  — пря­мо­уголь­ный,

Тогда

Ответ: 28.

Пусть мень­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD AB равна x, угол A равен 60°, сто­ро­на AD  =  2x и лежит в плос­ко­сти α. Най­дем боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Зна­чит, Пусть h  — рас­сто­я­ние от пря­мой BC до плос­ко­сти α. Тогда

Вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ве­ден­ная к сто­ро­не AD равна Тогда

От­сю­да

Ответ: 105.

Опу­стим из точки B пер­пен­ди­ку­ляр BC к плос­ко­сти α, AC  — про­ек­ция AB на плос­кость α. Катет BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC лежит на­про­тив угла, рав­но­го 30°, длина BC равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка, то есть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под одним углом, вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии, цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Пусть ост­рый угол ромба равен β. От­ре­зок BM равен 2r, AB  =  8. Най­дем Имеем:

Тогда:

от­ку­да Тан­генс угла α равен от­но­ше­нию вы­со­ты пи­ра­ми­ды к ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Имеем:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 72.

Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, точка M  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда Пусть SM  =  3x, зна­чит:

сле­до­ва­тель­но,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке BMS:

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 54.